حل المعادلة sin(x) = 0.5 في الفترة [0, 2π]
فهم السؤال:
نريد إيجاد جميع قيم x التي تجعل قيمة دالة الجيب (sin) تساوي 0.5، مع مراعاة أن x يجب أن تكون ضمن الفترة من 0 إلى 2π (أي دورة كاملة للدالة الجيبية).
الحل:
* التفكير في دائرة الوحدة:
* دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1، ومركزها عند الأصل.
* قيمة sin(x) تمثل الإحداثي y لنقطة تقع على دائرة الوحدة بزاوية x.
* إذا كانت sin(x) = 0.5، فهذا يعني أننا نبحث عن النقاط على دائرة الوحدة التي يكون فيها الإحداثي y يساوي 0.5.
* تحديد الزوايا:
* نبحث عن الزوايا التي يكون فيها الجيب مساوياً لـ 0.5. نعلم أن sin(30°) = 0.5.
* ولكن، بما أن الدالة الجيبية دورية، فهناك زاوية أخرى في الفترة [0, 2π] يكون فيها الجيب مساوياً لـ 0.5. هذه الزاوية هي (180° - 30°) = 150°.
* كتابة الحل:
* إذن، حل المعادلة sin(x) = 0.5 في الفترة [0, 2π] هو:
* x = 30° أو x = π/6 بالراديان
* x = 150° أو x = 5π/6 بالراديان
شرح إضافي:
* الدورية: الدالة الجيبية تتكرر قيمها كل دورة كاملة (2π راديان). لذلك، هناك عدد لا نهائي من الحلول لهذه المعادلة إذا لم تحدد الفترة.
* الراديان والدرجات: يمكن التعبير عن الزوايا بالراديان أو بالدرجات. الراديان هو وحدة قياس الزوايا في الرياضيات، وπ راديان يساوي 180 درجة.
* التحقق: يمكنك التحقق من صحة الحلول عن طريق تعويض قيم x في المعادلة الأصلية والتأكد من أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن.
استخدامات هذا النوع من المسائل:
* فيزياء: حساب حركة الموجات، التيارات المتناوبة.
* هندسة: حساب أطوال أضلاع المثلثات، مساحات الأشكال.
* برمجة: إنشاء رسوم بيانية، تحليل الإشارات.
